极限

极限思想在古希腊的穷竭法和中国古代的割圆术中已经萌芽。在牛顿的微积分中也含有极限思想。但是，直到19世纪初，人们对极限的理解还没有摆脱几何直观。只是到了1821年，法国数学家A.L.柯西才把极限概念建立在算术的基础上。他把极限定义为：若变量的一串数值无限地趋向某一定值时，其差可以随意地小，则该定值称为这一串数值的极限。19世纪70年代，德国的K.魏尔施特拉斯等人在数学分析的算术化过程中，进一步用"ε-N"语言更精确地把极限概念表述为：如果序列x₁,x₂,...x_n,...对于任意给定的无论怎样小的正数ε，总存在一个正整数N，使得当n>N时，不等式ㄧx_n-aㄧ<ε恒成立，则称数a为该序列的极限。
极限概念体现了有限与无限的对立统一关系。序列x₁，x₂，...x_n,...是由无限多个有限值组成的，并且在收敛的条件下，存在着有限的极限值。这说明了无限包含着有限，并且在一定条件下，可以向有限转化；另一方面，有限又包含着无限，在一定条件下，可以转化为无限，并通过无限表现自身。这一点在函数f(x)的级数展开式

求得。这表明极限概念具有重要的方法论意义。

极限

数列的定义

一个定义在正整数集合上的函数yn=f(n)(称为整标函数)，当自变量n按正整数1，2，3…依次增大的顺序取值时，函数值按相应的顺序排成一串数：f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…称为一个无穷数列，简称数列。数列中的每一个数称为数列的项，f(n)称为数列的一般项。

数列的极限

如果对于任意给定的正数c，总存在一个正整数N，当n>N时，