【资料名称】：DS系统中PIV码的捕获和频率检测

【资料作者】：xxx

【资料日期】：xxx

【资料语言】：中文

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第八章 PN码的捕获
8．1PN码的捕获过程
设接收信号为：
S(t)= d(t)PN(t)cos(w0t+ 0)
本地扩频的为PN(t- )。
码捕获过程要解决的问题是，在接收机PN（t）无任何先验知识前提下，它与本地PN(t- )的时速 是个随机变量，取值范围为1T ——NT ，其中N为要搜索的码元数，接收机必须控制本地PN(t- )，使 = （其中q为要搜索的单位数，称此为机码。若取q=2N,也可取q=3N,4N,…）然后通过求PN(t- ) 与S（t）的相关值是否 某个门限来判断是否已实现码同步。框图如下：











图中通过相乘，滤波，平方，积分来检测码相关值。积分时间间隔TD是数据（符号）宽度。如果一次后 = ，未能实现码捕获，则依次令 =2 , 3 , …,直到积分值超过门限后，TN 不再改变（不再机码）并使码能受控于码跟踪环的误差信号。于是完成了PN码的捕获过程。
如果接收信号的载波频率（或接收机中频的频率）偏离BPF2的中心频率较远，即使两个PN码的时延差很小，积分值也不大会超过TN. 为此必须进行载波的频率搜索。这样，对于接收机要实现的捕获必须包括载波频率和PN码相位两个参数的搜索——二维搜索。如下图。在TD时间间隔内（求得一个相关值）。频率搜索的变化量为 ，其中 为BPF2的带宽，M=4,5,6,…。显然，如M取值较小，如M=1，在 =0时，相关值至少也会减半。 大，搜索快，但会降低输出SNR。扫描间隔的次数为 。



8．2码捕获时间（PD=1,PFA=0）

8．2。1 PD=1,PFA=0时，平均码捕获时间是指从码捕获搜索开始到码捕获为止所花费的平均时间。显然，接收与本地PN码的时延 是个随机变量，同时平均捕获时间 是个统计平均值。另一方面频差 f在无任何先验知识的情况下也是个随机变量。为简单起见，这里假定 f很小，对相关结果影响很小。
分析计算捕获时间的数学方法不利用马尔可夫链（时间参数，状态参数均离散的马尔可夫过程）。对于最简单情况：设q=2N，码同步检测概率PD为1，虚警概率PFA为0，驻留时间（积分时间）为TD，则平均捕获时间为：
=(N+ ) TD N TD,( 在 —2N =TC间均匀分布)
如 f 很大，搜索频率为 则其搜索 等。故平均捕获时间=N TD 。当检测概率PD 1,PFA 0时，计算就复杂了。这时捕获模型流程图：此处缺少一个流程图。


PN码的搜索过程是个离散的马氏过程。
（1）离散的时不变马氏过程和生成函数流图
在随机过程中，对离散马氏过程的表征方法一般用差分方程或矩阵。这里介绍用状态转移图来描述。然后从这些图形出发导出被研究过程的生成函数。
首先以只有两个状态的时不变离散马氏过程，如图
3/8
1/2

5/8
S1S2
1/2
状态转移图



3/8z
1/2z

5/8z
S1S2
1/2z
生成函数流程图
时刻的状态转移概率矩阵为：
S1S2
S1
S2


也可写成概率差分方程
P1(n+1)=P1(n)+P2(n)
P2(n+1)=P1(n)+P2(n)
我们可以把每一次状态转移的时间延迟用z表示。用pij(n)表示经n个单位时间从状态i转移到状态j的时不变概率，称n阶转移概率。pij(n)的z损变即为生成函数，即生成函数为：

对单位圆内的所有z，该级数收敛。

其中E( )是由状态i转移到状态j的平均时间。
可以证明：
方差
(2)捕获模型和生成函数流图
实现方框图如前图，使用平方检波器，积分，门限比较
PN码级数为N，所搜索单元为q个，一般选q=2N (即频长半个码元)
如积分输出高于门限，系统进入检测状态。如果不是真同步，即为重叠，则代价为k TD 秒，然后继续搜索。如是真同步则码捕获完成。
PD 1,PFA 0(PD , PFA近似高斯分布)。
这时码捕获时间是一个随机变量。如果能求出它的分布，当然即可以从理论上求出平均捕获时间等数字表征量，然而在实际工作中很难得到其概率分布。
在码搜索捕获时对q个搜索单元编号1,2,…,i-1,i, i+1,…q. 因此在第1到i-1个单元无信号，而在第k个单元有信号的概率为（i-1<k q）

整个搜索过程的生成函数流图如图所示，回94页图（即为没画的那个图）。
从节点1开始，能存在真同步的概率为 ，不存在的概率1- ，如同步信号不存在，进入1a（只作概率判别没有延时）。在1a如产生产生虚警，其概率为 ，产生虚警本身需时间TD，然后用k TD 时间判断退出虚警进入节点2的支线为。如未产生虚警，也需TD 时间，进入节点2的直线为(1- )z。
节点1的另一支路则概率判断令1 （没延时）。如同步发生而捕获成功过程终止，通过支线PDZ进入节点F。如同步发生，通过支线(1-PD)Z进入节点2（下一个搜索点），在此是不可能有同步信号（ 因为是在前一支路为 的条件下）。节点2以后到3，与节点1a到2相似。

信号流程图（介绍节点与支线）
信号流程图是描述系统函数的联立方程的拓扑逻辑表示。一旦用流程图表示系统，那么确定闭环传递函数就变的简单了。
由两个节点xj,xi以及它们之间的单向连线就可构成最简单的信号流图。节点xj,xi 表示一个变量，可以是时间函数也可以是状态。Tij表示xj 变到xi 的关系，一般称为传递函数。所以描述右图中的信号流图的方程为：
xiTijxj
xi =xj Tji
一个节点（代表一个变量）可通过多条支线与多个节点相联，如图，（1）并型,设信号流图对称方程为：
x1
x2T2iT1i

xnTni
（2）串型：xn=Tn-1n xn-1
= Tn-1nxTn-2n-1xn-2
x1 T12x2 T23 x3x4 xn-1 Tn-1,n xn
=
称仅有出方向支线的节点为输入节点（或源点），仅有入方向支线的节点为输出节点（或终止点）
信号流图定义：
上面给出了信号流图的基本概念，这里根据不同具体信号流图的形式给出名称定义。这对于信号流图的改环以及变量简化等很有用。首先看以下信号流图。
开路径：连续带方向通过多个支线且沿该支线所有节点仅通过一次。如
x1 x2 x3 x4 x5
x1 x2 x4 x5T24
T33

x1T12x2T23x3 T34x4T45x5



反馈路径：（反馈环）起始和终止都在一个节点的路径。如x2 x3 x2。要注意，在经典反馈系统中输出变量也是回授给反馈传递函数的变量。这时输出节点有一个出方向的支线，这与输出节点定义矛盾。可通过增加一个具有单位传递函数的支线与一个假想的节点相联系而得到解决。后面将有这方面例子。
前向路径：从输入节点到输出节点的开路径。如 x1 x2 x3 x4 x5
以及x1 x2 x4 x5。
非接触环：一系列环路，它们没有公共的节点。以后将举例。
自身环：由单一支线组成的反馈环。如T33。
支线增益：当传递函数是一乘法因子时的支线传递函数。
环路增益：环路支线增益之积。例对x2 x3 x2环路，其环路增益为T23T32。
路径增益：沿该路径上所有支线增益之积。例x1 x2 x3 x4 x5前向路径，其路径增益为T12T23T34T45。

2.从方框图到信号流图：
如何根据方框图画出信号流图？原则如下：
（1）以组成方框图的每个变量作为一个节点
（2）以每个方框作为一条支线
举例如右图的反馈环路，总增益

R+C
-
GH



方框图



该方框图对应的信号流图如下。
-H

G
RC C'
信号流图
3信号流图的简化和梅森增益公式
在实际工作中，第一步可由方框图到信号流图，第二步不把信号流图简化为只由输入输出两节点和一支线构成的最简信号流图。
现在先考虑生成函数流图中点1。 ,——在点1为出现相关峰信号的概率——简称为有信号的概率。无信号的概率为1-P1。如不存在信号，就进入下一个节点（1a）。由于这仅是先验概率的判断不需时间驻留，所以不乘z，进入1a,在1a点如产生虚警，其概率为PFA= ，由于需驻留TD秒（积分时间）才可测得虚警，因此乘z，进入1a点。因是虚警，就必然不是稳态，设经k次判定后（需k TD 秒）才发现信号不真正存在（k=1,2,…）（意味着第k=1,…k-1仍发生虚警）然后进入点2，支线为 。如果不产生虚警，概率为1- ，也驻留一个TD，所以进入点2的支线为(1- )z。在节点1还有另一种情况，出现信号。其概率为P1，进入1 点。驻留TD 秒后如果相关信号出现，则码捕获实现，搜索过程终止。以支线PDZ进入终点F。PD为检测概率。驻留TD 秒后，如相关概率不出现，则以支线(1-PD)Z进入点2。由节点2，若为虚警产生 z，经 退出虚警进入点3：如无虚警以支线(1- )z 进入点3，依次类推，最后到达q然后进入1 点，重新重复上过程。
从点1经1-P1支路到达点2后流图与在1点时相同。最后一点是q点。因为前q-1个点仍未进入终止态F，则以pq=1(k=q)进入q 点。然后进入终止态F。
为了得到流图的传递函数，令

然后令 和
其中有反馈环
则可得简化流图如右F
图中B1(z) B2(z)B3(z) B4(z)Bq(z)
SA1(z) A2(z)A3(z)Aq-1(z)

从图得出到达终止态F的离散概率函数为：
U(z)=B1+A1B2+A1A2B3+…+A1Aq-1Bq
= [P1+(1-P1)HP2+…+(1-P1)(1-P2)…(1-Pq-1)Hq-1Pq]
如果用q表示Pi 和（1-Pi ）, 前面推出，Pi = 则：
U(Z)=[ + +…+ ]
=[]

作为检验
U(1)=(z=1 H=1)
平均捕获时间：

= TD
= qTD (其中q>>1)
= ( )
上两式是非常重要的，它们均为PD，PFA，k的函数。特例PFA=0，PD=1，则 ,与直接计算相同（均匀分布）


注意：
（1）在上式中未考虑多谱勒的影响。如果有多谱勒影响，首先它会改变码搜索的改变 。等次影响检测概率和概率等。
（2）上方说进入，但能否稳定，主要看从捕获到跟踪的切换。在等信噪比下，这个切换过程是可靠的。在很低的情况下，这个切换成功的概率可能性趋向1，这样使捕获时间加长，这时，要将推测概率修改为：
PD'= PD PH0,
PH0————过程转移概率，PH0还与多谱勒有关。如果

8．2．3
双驻留时的捕获时间如图所示：在一次驻留中，每一次，要进出进入下一点就花时间。为此，如果对有两个积分时间，前一个积分时间较短TD1，初步测定码是否出现相关，如果出现，则每用第二个积分较长时间TD2，由于TD2大，所以PFA2低，可增加判定的准确性。如第一次积分 就不证，就系上进入下一个搜索单元。由于TD1小，使搜索加快。 过Th1的概率总是较小的。即使在这些上增加TD2驻留时间。从总的搜索时间看，还是比较小的，结果为：
，q>>1
,
思考：一积分分担 一小部分保护，积分分担大部分保护，式中PD =PD1 PD2，PFA1为一次驻留概率，PFA2为二次 …..，q搜索单元，k 第二检测器的代价（TD2时间的单位数目），由于需稳定捕获跟踪程序流程图：

P










习题：如右图的相关曲线在点（I=1,2,3,4）处的概率为PD ，证明包括所有四个点的推测概率为
8.3检测概率和虚警概率
在实现码捕获之后,还要求不的检测码是否处于锁定状态。
现推导：与电路设计基本参数的关系 与电路设计参数关系 。 信号处理模型如下图。
设解扩码的输出为
然后BPF，带宽为B。然后平方律检波。最后积分（时间TD）后出为 。在Y(t)中，有用信号功率为P。
形（数据调制），n(t)是白高斯（WGN）噪声，双边谱密度为N0/2。
Davenport and Rost已经平方律检波器的输出功率均值为：
U=N0B+P=N0B(1+SNR)N0为噪声功率，P为信号功率。
B为带通滤波器的噪声带宽。SNR=P/N0B，TD积分后，输出均值为
UO= N0B（1+SNR）TD
我们在2-3节中已经给出平方检波器的输出，双边噪声功率谱密度为

而TD秒积分器的传递函数为

所以积分器输出方差为

上式中已假定TD很大，（只对低频输出不为0）满足1/TD<<B
所以上式积分结果主要由f=0附近的谱决定（TD是主要成分）

如果进一步假定带通滤波器具有理想截止特性，则按1/B秒间隔进行抽样，抽样值之间是互相独立的。如果BTD>>1,则Z（t）是大量独立变量之和。根据中心极限定理，在Z(t)近似服从正态分布，则超过门限Th的检测概率为

或 中 虚警概率PFA为(信号功率为0而Z超过门限)

其中
如果定义
则 PFA=Q
所以由N0，B,TD,Th可求PFA
由N0，B,TD,Th,SNR可求PD
若给定PFA=0.0001, PD=0.99,SNR=12Db,B=8kHz,P=8 ,求TD,Th
解：由PFA求 ，由PD求TD,带入B，求Th.。
如考虑当信号被调制以及由于带通滤波器引起损耗等因素对上结果，仍可用，只是
其中a为带通滤波器的调制信号分量。
值得注意并已由证的是，随数据率的增加，B也成比例的增加，功率也成比例的增加，仍保持SNR不变。在PFA不变时，则PD增加更快些。（TD不变时）

利用一起学习的结果（相关曲线有四个点的检测概率），证明：将两个相邻相关积分值相加，并与改进后的门限比较（保持PFA不变），可以改善总的捕获概率，因此可以减小捕获时间。假定：SNR=0dB,BT=100,
PFA=0.0001。注意，对该情况，PFA，PD的表达式都需改变。假定积分器输出的相关值相互独立且高斯分布。
8.4码锁定检测及其保护
码的锁定检测器的功能是判定和指示本地PN码是否处在将PN码的锁定状态，它是码捕获的一个部分。只有码处于锁定状态时，才可重现载波同步。此外，码锁定检测时间是码捕获总时间的一部分。对码锁定检测时间解析采用Keneny 和Snell的马尔可夫链的方法。

8.4.1吸收式马氏链
马尔可夫链的状态可分为过渡态和稳定态。过渡态一旦消失就再不可能重现。而稳定态一旦出现就不可能消失。仅仅只有一个元素的稳定态序列称为吸收态，它是稳定态的一种特例，其特征是它的转移概率为1，如果所有的非过渡态都是吸收态,则称该马氏链为吸收式马氏链。每一个马氏链必须具备有一个稳定状态序列。但不一定要有过渡状态序列。如果一个马氏链仅包含一个状态，那么它必然是个吸收链。例：如下状态转移矩阵
状态1,5为吸收态（P11=P55=1）,2,3,4为过渡态（一旦消失，不再出现），所
以为吸收式马氏链。

5为反射壁，由于各状态之间是相互转移。所以它是一个稳定序列。不存在过
渡态，都不稳定。因为在状态之间可相互转移，它没有吸收态。

8.4.2码锁定检测及其保护
在7.3.3的流程图中已查明，当积分结果连续三次不超过门限，则码环失锁。对一般情况，在码捕获之后，可有三种形式的码锁定检测器：如专用时间积分器，或计数式串联积分器等。码入锁后，如进行几次积分终值都低于门限，则才判为码失锁——码锁定保护。这样， 次或两次发生积分终结低于门限并不判定为码失锁。因为在存在噪声时，检测概率PD不等于1，即QD不等于0。所以，积分终值<门限，并不一定以为码环失锁。如连续几次发生积分终结V03<Th3(为小概率事件),而码环还是锁定的可能性非常小。所以判定码环失锁。本节目的就是在给定锁定检测的具体形式之后（状态数，状态转移概率距阵，各次的积分时间等），计算由锁定初态到失锁态（吸收态）的平均时间状态方差
在马氏链的状态转移概率距阵中，可把它表示成规范形式：把所有稳定状态放在一起，然后把所有过渡状态放在一起。总共有n个状态，有t 个过渡态。N-t个稳态。则规范形式为：
根据定理1（P505）：对任何马式链，当转移步数趋向无穷大时，不管把放在何处，过程最终处于稳态的概率趋向于1。如果链是吸收的。那么过程最终处于吸收态的概率趋向于1，我们所研究的大多数锁定检测问题都可看成为具有单吸收态的吸收式链。为了研究方便，
其中：s—达到稳态过程
o—(n-t) *t距阵。
R—t*(n-t)从过渡态到稳态的转移子距阵
Q—仍停留在过渡态的字距阵
对于吸收式马氏链，规范形式为

其中I为（n-t）(n-t)单位子阵。表示有n-t个吸收态，其他不变。
例：在前例中，状态1,5是吸收态，写成规范形式

根据马氏链理论，得出过程从状态I开始处于过渡态所经过的平均时间为（推理式）

其中表示时间
I 幺阵，Q为以前定义过的子阵。
T1,T2…..Tt为各次驻留时间

（2）过程从状态I开始，处于过渡态所经历的时间方差为（推论5，P512）

其中

Tsq表示对T中的每个元素平方。
表示对（）中每个元素平方
（3）马氏链从过渡态I开始到吸收态j结束的概率Bij为{Bij}=B=NR ,t*(n-t)阵（定理6，P514）
例：考虑右边的状态转移图
该图表示了求锁定概率的一个简化模型

其中PD=P{超过门限|搜索模式下}qD={低于门限|搜索模式下}
a)证明：从状态1开始到达状态3概率为
b)证明：从状态1开始到达状态3和0的概率是1
证：a) 因为

所以

所以
c)
前面所示：不管过程从过渡态开始，最终处于吸收态的概率为1。

例二：锁定检测器如图所示。发生一次漏检就引起锁定检测器失锁。检测概率为PD,漏检概率为qD,求和
解：
所以R=qDQ=PD
所以

例三：锁定检测器在连续发生漏检时才判定系统失锁。状态转移图如下：

求从锁定态到失锁态的平均时间和方差
解：

Holmes证明：n次连续记数式的锁定检波器所具有的平均失锁时间

（在状态转移图中有n+1个节点）

例4:三状态可逆计数器检测器，如图，如不发生漏检，就停留在状态1，发生一次漏检，就由状态1进入状态2。如三次连续发生漏检，就进入状态四，表明系统失锁。在2，3状态发生正确判测就分别依次退回到状态1，3。求平均失锁时间。
解：


与例二相比，二者无明显差别。只是比例二略小，（例二分子为qD，这里为q*q）
思考：在例三中，若驻留时间为2TD, 3TD, 4TD时,如何改变（TD影响qD）
8.5序 检测（林， holmes）
前面在码捕获过程中，主要介绍了 次驻留时间和平均捕获时间。还讲了两次驻留时间的捕获方法，后者较前者优。在码捕获进程中，要搜索的解元很多，但真正有较大相关值输出的解只有一两个。即有信号的概率，信号的概率很高。要减小捕获时间，主要是快速处理虚警解 ；另一方面，要尽量减小漏检概率，因为如果发生漏检，就要从所一个周期，也使捕获时间加长。为此，序虚警检测是一种减小捕获时间的较好办法。
序号检测采用不规则观测时间，使得总平均观测时间变小。事实上，序号检测的观测时间Ts是个随机变量。因为序号检测是一个阶段进行的，终止观测后，阶段数目n是一个随机变量。如每一阶段的时间之相等，则观测时间为

在每一个阶段终了，规定好判决规则：选下三 之一：（1）有信号H1假设成立，（2）元信号H0假设成立（3）不能判定有无信号——再进行下一阶段检测。总共进行n段后结束，每段检索时间，一项试行结束，n取m段（具体数值），则样本x1,x2,….xm的总构成m维空间Xm，所选定的判决规则就是把观测空间X划分为三个相邻而又不相等的区域X0,X1,X2，共边界（双门限）为B2（高）和B1（低），如图：在实际中常用的是序号似然检测规则。具体内容为：定义似然比为：
其中，P(Xm/Q1)表示在H1假设下，即有信号时间条件概率密度函数
P(Xm/Q0)表示在H0假设下，即有信号时间条件概率密度函数
如果，设B2>B1（Xm）<=B1,认为是H0
如果(Xm）>=B1,认为是H1
如果-------继续采样观测
由以上规定可得在给定 如何求
由两个不等式得

在 假设成立的区域内积分（样本 落在 区）
为虚警概率

定理，定理必然终止，这时

其中 为漏检概率，

同理前一个不等式可化为
（样本落在 内）
即

上式给出 的下界和B2上界，要准确的给出很困难，由于 是m的函数，m的变化为（m=1,2,3……）所以在经些可能，似然比征可能要-------称此现象为域界现象，通常假设域界不大，特别是在m很大时域界可以忽略，这时等号成立即

给定 后可求出B1,B2
例：(Holmes524)
序列探测概率和捕获时间
8．6匹配滤波器： 主脉冲响应是信号的时间反转，实现PN码快捕的一种重要途径是使用匹配滤波器，其中又有有源和无源之分，有源的一种建立在数字相关基础上的数字相关匹配滤波器。无源中常用的有san器件，抽头延迟线和卷积器
8．6．1 数字匹配滤波器
如图：工作在码基带












8．6．2SAW抽头延迟线


8.6.3SAW卷积器
信号输入的正序列
参考输入的逆序列



输出为
包络=
其中T=l/v
比较
工作频带速度长度成本稳定性功率
数字基频高1200低好低
SAW延迟线射频
中 较低差低
SAW卷积器射频低50us高好高
8．7最佳捕获移率
对频率和时间的二段移来说，不管是频率还是相位，如有知识，即载波频率对本地偏离多大范围内，本振参考载相就以此为向两边移动，逐次扩大范围，如下图所示
8．8环相关引起的假锁

主要介绍在码捕获时间平方器的BPF是如何影响相关过程的

相乘后：

其中仍为pn码
由于BPF的带宽在系差动频衣存在或在有数据调制时不能太窄，须适当放宽，这样在码未同步时 的谱线中靠近流动几根谱线就能通过BPF，然后混平方，积分后输出可能 判为捕获，就造成假锁。BPF的B域宽，假锁域高易发生——环相关引起假锁。克服的办法：1。尽可能减小B（在允许的范围内），当有数据调制时，每根码谱上都有数据调制。2。增加积分时间，使平均时间更长，减小脾时“剩余”相关的影响。